METODOS DE LA ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

CINEMATICA DE PARTICULAS: METODOS DE LA ENERGIA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Impulso y cantidad de movimiento.- En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

Supongamos que la curva de la figura 2 muestra la magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un choque. Supongamos que la fuerza tiene una dirección constante. El choque comienza en el tiempo t1 y termina en el tiempo t2, siendo la fuerza 0 antes y después del choque.

La integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se supone que es de dirección constante. El impulso de esta fuerza I Fdt. está representado en magnitud por el área de la curva fuerza-tiempo.

Fenómenos de choque.- Consideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. además, cada fuerza obra durante el mismo período de tiempo, est es, el tiempo del choque,

dt = t2 - t1

Dos “partículas” m1 y m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la dirección de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de Newton.

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema.

Si consideramos después un sistema de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensión del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El único requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

Ahora el estudiante se preguntará por qué los fenómenos de choque se han discutido en función del impulso. De echo, el principio de conservación de la cantidad de movimiento ya se ha deducido antes. Todo lo que debemos reconocer para sistemas en los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son fuerzas internas, y para tales sistemas surge inmediatamente el principio de la conservación.

Una razón para considerar la naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase importante de problemas sobre como ocurre la conservación de la cantidad de movimiento. Sin embargo, una razón más importante es que nos permite explicar por qué casi siempre suponemos conservación de cantidad de movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas externas sobre el sistema.

Cuando un bat le pega a una pelota de béisbol un bastón de golf le pega a una pelota de golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran fuerzas externas sobre el sistema; por ejemplo, la gravedad o la fricción ejercen fuerzas sobre esos cuerpos; esas fuerzas externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el choque y suponer conservación de la cantidad de movimiento con tal que, como es casi siempre cierto,

Las fuerzas externas sean insignificantes en comparación con las fuerzas impulsivas de choque. Como resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una fuerza externa, es insignificante en

En la figura a la izquierda se puede observar,

que durante un choque la fuerza impulsiva, Fimp es

generalmente mucho mayor que cualquiera de las

fuerzas externas Fext que puedan sobre el sistema.

Comparación con el cambio de cantidad de movimiento de una partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.

Ejemplo

El péndulo balístico se usa para medir la velocidad de las balas. El péndulo, que consiste de un gran bloque de madera de masa M cuelga verticalmente de dos cuerdas. Una bala de masa m, que avanza con una velocidad horizontal u, choca contra el péndulo y se incrusta en él. Si el tiempo de choque (el tiempo requerido para que la bala quede en reposo con respecto al bloque) es muy pequeño en comparación con el tiempo de oscilación del péndulo, las cuerdas que lo sostienen quedan aproximadamente verticales durante el choque. Por consiguiente no obra ninguna fuerza externa horizontal sobre el sistema durante el choque y se conserva la componente horizontal de la cantidad de movimiento. La velocidad v del sistema después del choque es mucho menor que la de la bala antes del choque. Esta velocidad final se puede determinar fácilmente de modo que la velocidad original de la bala se puede calcular mediante el principio de la conservación de la cantidad del movimiento.

La cantidad de movimiento inercial del sistema es la de la bala mas la cantidad de movimiento del sistema apenas terminado el choque, de modo que:

Una vez que termina el choque, el péndulo y la bala oscilan hasta una altura máxima y, en donde la energía cinética que quedó después del impacto se convierte en energía potencial gravitacional.

Entonces, aplicando el principio de la conservación de la energía mecánica para esta parte del movimiento, obtenemos:

Por consiguiente, se puede determinar la velocidad inicial de la bala si se miden "m" "M" y "y".

La energía cinética de la bala inicialmente es 1/2mu2 y la energía cinética del sistema (bala+péndulo) inmediatamente después del choque es 1/2(m+M)v2. La relación es:

Por ejemplo, si la bala tiene una masa m=5[gr] y el bloque tiene una masa M=2000[gr], la cantidad de energía cinética que queda es apenas de 0.25% aproximadamente; más del 99% se convierte en otras formas de energía, por ejemplo calor y sonido.

El movimiento del centro de masa de dos partículas no es afectado por su choque, por que el choque no cambia la cantidad de movimiento del sistema de dos partículas, sólo cambia la distribución de la cantidad de movimiento entre las dos partículas. La cantidad de movimiento del sistema se puede escribir así P=(m1 +m2 )vcm. Si no obran fuerzas externas sobre el sistema, entonces P es constante antes y después del choque y el centro de masa se mueve con velocidad constante todo el tramo.

Si escogemos un sistema de referencia ligado al centro de masa entonces en este sistema de coordenadas del centro de masa vcm =0 y P=1. Hay una gran simplicidad y simetría al describir los choques con respecto al centro de masa, y se acostumbra hacerlo así en física nuclear. Para decir que los choques sean elásticos o inelásticos, se conserva la cantidad de movimiento y tomando coordenadas referidas al centro de masa, la cantidad de movimiento total es igual a cero. Estos resultados son válidos en dos y en tres dimensiones lo mismo que en una porque la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial.

Como ejemplo, consideremos el choque de frente entre dos partículas m1 y m2. Sea m2=3m1, y consideremos a m2 en reposo, de modo que u1 es igual a cero en el sistema de coordenadas del laboratorio. La cantidad de movimiento total de las dos partículas es simplemente la de la partícula incidente m1u1 de modo que:

Después del choque m1 tiene una velocidad v1=1/2u1, y m2 tiene una velocidad v2=1/2u1. La cantidad de movimiento total de las dos partículas es la misma que antes del choque, y el movimiento del centro de masa no se altera.

  Un choque elástico referido al sistema de coordenadas del laboratorio.

  El mismo choque referido al centro de masa.

Sección eficaz de choque.-

Cuando se conoce la fuerza de interacción de las partículas que chocan, podemos encontrar el movimiento resultante directamente a partir de las condiciones iniciales. La misma ley de las fuerzas en una cuarta ecuación que se aplica al movimiento. El parámetro de choque es entonces una condición inicial que debe especificarse. Ejemplos que frecuentemente se encuentran en física son choques entre cuerpos astronómicos, tales como el movimiento de un cometa cerca de un planeta, en el cual la fuerza es la conocida fuerza de gravitación, o choques entre partículas eléctricamente cargadas, en las cuales la fuerza es también la conocida fuerza de Coulomb entre partículas cargadas. Esas fuerzas son de gran alcance, de modo que los cambios en el movimiento de unos cuerpos que chocan y que están sometidos a tales fuerzas de interacción son graduales y no repentinos como lo son los choques por contacto.

Los parámetros de impacto están distribuidos al azar y debemos analizar la interacción estadísticamente.

El área de la hoja expuesta al haz es A y el espesor de la hoja ............ Si hay n partícula blanco por unidad de volumen de la hoja el número total de partículas blanco disponibles es nA s. Si cada partícula blanco ofrece una reacción eficaz al choque, el área general disponible para el choque es (nA s) . Por consiguiente la probabilidad de que ocurra un choque cuando una partícula pase por la hoja es la relación de esa área al área total de la hoja expuesta al haz, o sea n s . Para determinar o experimentalmente medimos la fracción de las partículas incidentes que chocan e igualamos n s . Esto es, N/N es igual a n s. Conociendo el espesor de la hoja y la densidad de la partícula blanco obtenemos .

En vez de la sección eficaz para que ocurra un choque cual quiera, llamada sección eficaz total, a menudo estamos interesados en la sección eficaz para ciertas clases especiales de choque. Por ejemplo, en choques moleculares la molécula inicialmente puede ionizar la molécula blanco; pueden simplemente pasar energía a la molécula blanco; pude disociar la molécula blanco, y así sucesivamente. Para obtener la sección eficaz par una clase especial de choque, simplemente medimos la fracción de la partícula incidente que hace esta clase de choque con las partículas blanco. La sección total eficaz de choque es la suma de todas esas secciones eficaces parciales.

CINEMATICA DE PARTICULAS

Introducción.-

Al diseñar un vehículo sea este una bicicleta o una nave espacial, los ingenieros deben ser capaces de analizar y predecir su movimiento.

Para diseñar un motor, deben analizar los movimientos de cada una de sus partes móviles. Aun al diseñar estructuras estáticas como edificios, puentes y presas, a menudo deben analizar los movimientos que provocan las eventuales cargas de viento y los sismos.

En este capitulo comenzamos el estudio del movimiento no nos interesa aquí las propiedades de los cuerpos ni las causas de sus movimientos, solo queremos describir y analizar el movimiento de un punto en el espacio.

Sin embargo, tenga presente que una partícula puede representar algún punto (como el centro de masa) de un cuerpo en movimiento.

Después de definir la posición, velocidad y aceleración de un punto, consideremos el ejemplo más sencillo; el movimiento a lo largo de una línea recta. Luego mostramos como el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria cualquiera se expresa y analiza en varios sistemas coordenados.

Antecedentes.-

Posición, Velocidad y Aceleración

Puede describir la posición de un punto P escogiendo un punto de referencia 0 y presentando el vector de posición r de 0 a P(fig. 2.1 a). Supongamos que P esta en movimiento respecto a 0, de manera que r es una función del tiempo t (fig. 2.1 b)expresamos esto con la notación

r = r (t)

la velocidad de P respecto a 0 en el tiempo t se define como:

V= dr = lim r(t+ t)-r(t)

dt t t .

Donde el vector (r+ t)-r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo t(fig. 2.1 c). Así la velocidad es la razón de cambio de la posición de P respecto a 0.

Las dimensiones de una derivada se determinan como si se tratara de una proporción, por lo que las dimensiones de V son (distancia)/(tiempo). El punto de referencia usado suele ser obvio, y simplemente llamamos V a la velocidad de P., SIN EMBARGO, se debe recordar que la posición

La aceleración de P respecto a 0 en un tiempo t se define como:

A = dv = lim v(t+ t)- v(t)

Dt t =0 t

Donde v (t+ t)-v (t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de tiempo t(fig. 2.2). La aceleración es la razón de cambio de velocidad de P en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo de desplazamiento), y sus dimensiones son (distancia)/(tiempo)2.

Movimiento en línea recta

Analizamos este tipo simple de movimiento para obtener experiencia antes de pasar al paso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchos casos prácticos los ingenieros deben analizar movimientos en línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movimiento del pistón de un motor de combustión interna.

Descripción del movimiento.-

Puede especificar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia 0 por medio de la coordenada s medida a lo largo de la línea que va de 0 a P (fig. 2.3 a). En este caso definimos s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P esta a la derecha de 0 y negativa cuando P esta a la izquierda de 0. El desplazamiento s respecto a 0 durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición, s= s(t)-s(t0).

Incluyendo un vector unitario e paralelo a la línea y que apunta en la dirección positiva s (fig. 2.3 b), podemos escribir el vector de posición de P respecto a 0 como

r=se

Si la línea no gira, el vector unitario e es constante y la velocidad de P respecto a 0 es:

v= dr = ds e

Dt dt

Podemos escribir el vector velocidad como v=ve y obtener la ecuación escalar

v= ds

dt

La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la tangente a la gráfica de s en función de tiempo (fig. 2.4)

La aceleración de P respecto a 0 es

a=dv=d(ve)=dv e

dt dt dt

Escribir el vector de aceleración como a= ae da la ecuación escalar

a=dv=d2s

dt dt2

La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la recta tangente a la gráfica de v en función del tiempo (fig. 2.5)

Con el vector unitario e obtuvimos ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones

v= ds

dt

a= dv

dt

ANALISIS DEL MOVIMIENTO.-

En algunos casos se conoce la posición s de algún punto de un cuerpo como función del tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometria de láser para medir posiciones en función del tiempo.

En este caso, con las ecuaciones anteriores se pueden obtener por diferenciación la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura 2.6 durante el intervalo de tiempo de t=2s a t=4s esta dada por la ecuación

S=6 +1/3 t3 m

Su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son

v= ds =t2

dt

a= dv =2t m/s2

dt

Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar con la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Una vez conocida la aceleración, con las ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden determinar por integración la velocidad y la posición. En las siguientes secciones analizaremos tres casos importantes.

ACELERACION ESPECIFICADA COMO FUNCION DEL TIEMPO

Si la aceleración es una función conocida del tiempo a(t), podemos integrar la relación

dv=a(t)

dt

Con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo,

v = a(t)dt+A

Donde A es una constante de integración. Luego podemos integrar la relación

ds =v

dt

Para determinar la posición en función del tiempo,

s = v dt+B

Donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de v y s en un tiempo dado.

En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (2.5) se puede escribir como

dv=a(t)dt

E integrar desde el punto de vista de integrales definidas:

dv= a(t)dt

Él limite inferior v0 es la velocidad en el tiempo t0 y él limite superior es la velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral izquierda obtenemos una expresión para la velocidad en función del tiempo:

v=v0 + a(t)dt

Podemos escribir la ecuación (2.7) como

ds= v dt

E integrar desde el punto de vista de integrales definidas,

ds= v dt

Donde él limite inferior s0es la posición en el tiempo t0 y él limite superior s es la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral izquierda, obtenemos la posición en función del tiempo:

s=s0 + v dt

Aunque hemos mostrado como determinar la velocidad y la posición cuando se conoce la aceleración en función del tiempo, no deberían memorizarse resultados como las ecuaciones (2.9) y (2.10). Como demostraremos en el ejemplo, recomendamos que los problemas en movimiento en línea recta se resuelvan empezando con las ecuaciones (2.3) y (2.4).

Algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (2.9) y (2.10) son las siguientes:

El área definida por la gráfica de la aceleración de P en función del tiempo de t0 a t es igual al cambio de la velocidad de t0 a t (fig. 2.7a ).

El área definida por la gráfica de la velocidad de P en función del tiempo de t0 a t es igual al desplazamiento, o cambio de posición, de t0 a t(fig. 2.7b).

A menudo se pueden usar esas relaciones para obtener una apreciación cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento.

En algunas situaciones, la aceleración de un cuerpo es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se lanza un cuerpo denso, como una pelota de golf o una roca, y este no cae muy lejos, se puede ignorar la resistencia del aire y suponer que su aceleración es igual a la aceleración de la gravedad a nivel del mar.

Sea la aceleración una constante conocida a0. De las ecuaciones (2.9) y (2.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son

v =v +a (t-t0 )

s =s +v (t-t0 )+1/2 a0 (t- t0 )2

Donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo.

Podemos usar la regla de la cadena para expresar la aceleración desde el punto de vista de una derivada respecto a s:

a0 =dv=dv ds = dv v

dt ds dt ds

Escribiendo esta expresión como vdv=a0ds e integrando;

V dv= a0 ds

Obtenemos una ecuación para la velocidad en función de la posición:

v2 =v02 +2 a0 (s-s0 )

Probablemente el lector se encuentra familiarizado con las ecuaciones (2.11) y (2.13). Aunque esos rhttp://www.youtube.com/watch?v=XRduee6QEDYesultados pueden ser de utilidad cuando se sabía que la aceleración es constante, hay que tener cuidado de no usarlas cuando esto no sea así.

ACELERACION ESPECIFICADA COMO FUNCION DE LA VELOCIDAD

Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicos ocasionan que la aceleración de un cuerpo dependa de su velocidad (fig. 2.11). Suponga que la aceleración es una función conocida de la velocidad a(v):

dv = a(v)

dt

No podemos integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velocidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, podemos separa variables poniendo los términos que contengan V en un lado de la ecuación y los términos que contengan t en el otro lado:

dv = dt

a(v)

Ahora podemos integrar,

dv= dt

a(v)

Ahora podemos integrar,

dv = dt

a(v)

Donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, podemos resolver esta ecuación para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación

ds= v

dt

Para determinar la posición en función del tiempo.

Usando la regla de la cadena podemos determinar también la velocidad en función de la posición. Escribiendo la aceleración como:

dv= dv ds =dv v

dt ds dt ds

Y sustituyéndola en la ecuación (2.14) obtenemos:

dv v =a(v)

ds

Separando variables

v dv = ds

a(v)

E integrando,

v dv= ds

a (v)

Podemos obtener una relación entre la velocidad y la posición.

de la posición

MOVIMIENTO CURVILINEO.-

Si el movimiento de un punto se limita a una línea recta, su vector de posición r, su vector de velocidad v y su vector de aceleración a están completamente descritos por los escalares s, v y a respectivamente. Conocemos las direcciones de esos vectores porque son paralelos a la línea recta, pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, debemos especificar tanto las magnitudes como las direcciones de esos vectores, y requerimos un sistema coordenado que se emplea para expresarlos desde el punto de vista de componentes escalares. Aunque las direcciones y magnitudes de los vectores de posicion, de velocidad y de aceleracion no depende del sistema coordenado que se emplea para expresarlos, mostraremos que las representaciones de esos vectores son diferentes en distintos sistemas coordenados. Muchos problemas se pueden expresar en coordenadas cartesianas, pero algunas situaciones, incluyendo los movimientos de satelites y maquinas alternativas se pueden expresar mas facilmente usando otros sistemas coordenados que ilustran los movimientos curvilineos de puntos.

CORDENADAS CARTESIANAS.-

Sea r el vector de posicion de un punto P, respecto a un punto de referencia 0. Para expresar el movimiento de P en un sistema coordenado cartesiano, colocamos el origen en 0 (fig 2.15), de modo de las componentes de r son las coordenadas x, y, z de P:

r = Xi+Yj+Zk.

Suponiendo que el sistema coodenado no gira, los vectores unitarios i,j y k son constantes. Entonces, la velocidad de P es

Expresando la velocidad en terminos de componentes escalares

Obtenemos ecuaciones escalares que relacionan los componentes de velocidad con las coordenadas de P

La acelaracion de P es

Y expresando la aceleracion en terminos de componentes escalares,

Obtenemos las ecuaciones escalares

Las ecuaciones 2.23 y 2.25 describen el movimiento de un punto respecto a un sistema cartesiano. Observe que las ecuaciones qque describen el movimiento en cada direccion coordenada son identicas en forma de las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una lines recta. En consecuencia, a menudo se puede analizar el movimiento en cacda direccion coordenada usando los metodos aplicables al movimiento en llinea recta.

MOVIMIENTO ANGULAR.-

Hemos visto que algunos casos el movimiento curvilineo de un punto se puede analizar usando coordenadas cartesianas. En las siguientes secciones describimos problemas que se pueden analizar mas facilmente con otros sistemas coordenados. En esta seccion presentamos dos temas preliminares: el movimiento angular de una linea en un plano y la derivada respecto al timpo de un vector unitario girando en un plano.

MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA LINEA.- Podemos especificar la posicion angular de una linea L en un plano particular respecto de una linea de referencia L0 en el plano por medio del angulo (figura 2.18). la velocidad angular de L respecto a L0 esta definida por

Y la aceleracion angular de L respecto de L0 por formula

Las dimensiones de la posicion angular, la velocidad angular y la aceleracion angular son radianes (rad), rad/s y rad/s2 respectivamente. Aunque estas cantidades suelen expresarse en grados o revoluciones en vez de radianes, deben convertirse en radianes antes de usarlas en calculos.

Observe la analogia entre las ecuaciones 2.31 y 2.32 y las que relacionan la posicion, la velocidad y la aceleracion de un punto de una recta ( tabla 2.2). en cada caso la posicion se especifica con una sola coordenada escalar, que puede ser positiva o negativa(en la figura 2.18 la direccion antihoraria es positiva). Como las ecuaciones son identicas los problemas que implique movimientos angulares de una linea se pueden analizarcon los mismos metodos aplicados al movimiento de una linea recta.

Sistemas de Particulas

SISTEMAS DE PARTICULAS 

 INTRODUCCIÓN

Este capítulo está destinado al análisis del movimiento de un gran numero de partículas consideradas en conjunto. La primera parte de este se dedica a sistemas constituidos por partículas bien definidas; la segunda considera el movimiento de sistemas en los cuales se ganan o pierden partículas.

En la sección 14.2 la segunda ley de Newton se aplica a cada partícula del sistema. Al definir fuerza efectiva como el producto de su masa por su aceleración, se demostrará que las fuerzas externas que actúan sobre diversas partículas forman un sistema equipolente al sistema de las fuerzas efectivas. En la sección 14.3 se demostrará que la fuerza y el momento resultante de las fuerzas externas son iguales respectivamente a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular total de las partículas del sistema.

En la sección 14.4 se define el centro de masa del sistema de partículas y se describe su movimiento. Asímismo en la sección 14.5 se analiza el movimiento de las partículas alrededor de su centro de masa. Las condiciones bajo las cuales se conserva la cantidad de movimiento lineal y angular en un sistema se estudian en el 14.6.

Las secciones 14.6 y 14.8 abordan la aplicación del principio del trabajo y la energía en un sistema a partículas y en el 14.9 el principio de impulso la cantidad de movimiento.

La segunda parte de este  capítulo se dedica al estudio de un sistema variable de partículas. En la sección 14.1 se consideran corrientes estacionales de partículas. Por último en la sección 14.2 se aprenderá como analizar los sistemas que ganan o pierden partículas.

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. FUERZAS EFECTIVAS.

Para deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas se comienza escribiendo la segunda ley de Newton para cada partícula individual del sistema. Considerando una partícula Pi donde 1≤ i ≤ n. Sean mi la masa  de Pi y ai  su aceleración con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz. La fuerza ejercida sobre Pi por otra partícula Pj, se denomina fuerza interna y se denota por Fij (donde se supone que no tiene significado y es igual a cero). Por otro lado al denotar Fi la resultante de las fuerzas externasque actúan sobre Pi, se escribe la segunda ley de Newton en la siguiente forma:

Ahora bien, denotando por ri el vector de posición de la partícula Pi y tomando en cuenta los momentos alrededor de O, también se escribe:

Si se repite el procedimiento para cada partícula del sistema, se obtienen n ecuaciones del tipo Fi  y n ecuaciones del tipo  ri x Fi donde i toma los valores 1,2,… n sucesivamente. En consecuencia las ecuaciones que se obtienen expresan el hecho de las fuerzas externas e internas que actúan sobre el sistema son equipolentes al sistema de las fuerzas efectivas (miai).

En cuanto a la deducción de las ecuaciones, hay que examinar las fuerzas internas fij, en pares fij y fji,  donde fij representa la fuerza ejercida por la partícula Pj a las partícula Pi y la fuerza fji representa la fuerza ejercida por Pi sobre Pj. Ahora bien, las fuerzas fij y fji son iguales y opuestas y tienen la misma línea de acción. Por lo tanto, su suma es fij + fji = 0.

Al agregar todas las fuerzas internas del sistema y sumar sus momentos alrededor de O, se obtienen las ecuaciones:

Al regresar a la primera ecuación y utilizando la primera de las anteriores obtenemos:

Al proceder de manera similar la segunda ecuación que se denotó y la segunda de las anteriores obtenemos:

Las ecuaciones anteriores expresan el hecho de que las fuerzas internas son equipolentes a cero. Sin embargo no se afirma que las fuerzas internas no tengan efecto sobre las partículas.

En esta figura se observa que las fuerzas tienen la misma resultante y el mismo momento, pero éstos actúan de manera distinta.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

Las ecuaciones  para el movimiento de un sistema de partículas, pueden expresarse de una manera más concreta si se introduce la cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas. Definiendo la cantidad de movimiento lineal L del sistema de partículas como la suma de las cantidades de movimiento de las diferentes partículas del sistema, escribimos:

Definiendo la cantidad de movimiento angularH_ocon respecto a O del sistema de partículas, encontramos: 

La cual haciendo el desglose puede reducirse a la siguiente ecuación:

Porque los vectores v_i y m_iv_i son colineales.  

Entonces escribimos:

 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La ecuación anterior  puede escribirse en otra forma si se considera el centro de masa de partículas. El centro de masa del sistema es el punto C definido por el vector de posición  que satisface la relación

En la que m representa la masa total  de las partículas. Descomponiendo los vectores de posición en componentes rectangulares, obtenemos las tres ecuaciones escalares, que pueden utilizarse para encontrar las coordenadas  del centro de masa:

Como m_ig representa el peso de la partícula P_i y mg el peso total de las partículas, notamos que G es también el centro de gravedad del sistema de partículas.

Al derivar ambos miembros de la ecuación 

O sea:

(a)

En la cual V representa la velocidad del centro de masa G del sistema de partículas, pero el segundo miembro de la ecuación (a) es  por definición, la cantidad de movimiento lineal L del sistema. Por tanto, tenemos

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ALREDEDOR DE SU CENTRO DE MASA.

En algunas aplicaciones es conveniente considerar el movimiento de las partículas del sistema con respecto a un sistema de referencia centroidal Gx’y’z’ que se traslada con respecto al sistema de referencia Newtoniano Oxyz. Si bien el sistema de referencia centroidal no es, en general, un sistema de referencia newtoniano, se observara que la relación fundamental  ∑Mo=Ho se cumple cuando el sistema de referencia Oxyz se sustituye por Gx’y’z’.

Al denotar, respectivamente, mediante r’_i y v’_i el vector de posición y la velocidad de la particula P₁ relativos al sistema de referencia en  movimiento Gx’y’z’, se define la cantidad de  movimiento angular H’_G del sistema de partículas alrededor del centro de masa G de la manera siguiente

H’_G = ∑ (r’_i  x m_i v’_i)

Al igualar y realizar sustituciones con otras ecuaciones de temas anteriores obtenemos:

H’_G = ∑ (r’_i x m_ia_i) – (∑ m_ir’_i)x a

Sin embargo la segunda sumatoria en la ecuación es igual a mr y, por consiguiente, a cero, ya que el vector de posición r’ de G relativo al sistema de referencia Gx’y’z’ es claramente cero. Por otro lado, puesto que a_i representa la aceleración de P_i relativa al sistema de referencia newtoniano, se puede usar la ecuación (14.1) y sustituir m_ia_i por la suma de las fuerzas internas f_ij y de la resultante F_i de las fuerzas externas que actúan sobre P_i pero un razonamiento simirar al de la secion14.2  demuestra que el momento resultante alrededor de G de las fuerzas internas f_ij del sistema completo es cero. La primera sumatoria en la ecuación anterior se reduce consecuentemente al momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y se escribe.

∑M_G = H’_G

H_G se reduce a la segunda sumatoria, la cual por definición es H’_G, si se aprovecha la propiedad se simplifica la notación al eliminar ( ‘ ) de la ecuación y se escribe.

∑M_G = H_G

La ecuación final para calcular los momentos alrededor de G seria

H_G = ∑ (r’_i x m_iv_i) = ∑ (r’_i x m_iv’_i)

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si sobre las partículas de un sistema no actúan formas externas, los primeros miembros de las ecuaciones  Σ F = ´L y Σ Mo = ´Ho son iguales a cero & estas ecuaciones se reducen a ´L=0 y ´Ho=0 , concluimos que L=constante H=constante. Éstas ecuaciones expresan que la cantidad de movimiento lineal del sistema de partículas y su cantidad de movimiento angular respecto al punto fijo cero se conserva.

Hay algunas aplicaciones como poblemas en los que intervienen fuerzas centrales el momento respecto a un punto fijo cero de cada una de las fuerzas externas pueden ser cero sin que ninguna de las fuerzas sean cero

ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La energía cinética T de un sistema de partículas se define como la suma de las energías cinéticas de las diversas partículas del sistema. Por lo tanto se escribe:

T = ½ ∑m_iv²_i

Sea P_i una partícula del sistema v_i su velocidad relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz y v’_i su velocidad relativa al sistema de referencia en movimiento Gx’y’z’ que esta en traslación con respecto a Oxyz. Se recuerda de la sección anterior que.

v_i = v+ v’_i

donde v denota la velocidad del centro de masa G relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz. Al observar que u’_i  es igual al producto escalar v_{i .} v_i, se expresa la energía cinética T del sistema relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz sustituyendo v_i  en la forma siguiente:

T = ½ ∑ [m_i(v + v’_i) . (v + v’_i)] = ½ (∑ m_i ) u² + v . ∑ m_iv’_i + ½ ∑ m_i u’_i²

La primera sumatoria representa la masa total m del sistema. Al recordar la ecuación 14.13, se nota que la segunda sumatoria es igual a m v’  y, en consecuencia, a cero, ya que v’ representa la velocidad de G relativa al sistema de referencia Gx’y’z’, es claramente cero. Por lo tanto, se escribe.

T = ½ mu² + ½ ∑ m_iu’_i²

Esta ecuación muestra que la energía cinética T de un sistema de partículas puede obtenerse al sumar la energía cinética del centro de masa G (suponiendo que toda la masa está concentrada en G) y la energía cinética del sistema en su movimiento relativo al sistema de referencia Gx’y’z’.

 PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS

El principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada partícula Pi de un sistema de partículas. Se escribe:

T₁ + U_1-2 = T₂

Para cada partícula Pi donde U_1-2 representa el trabajo realizado por las fuerzas internas  y la fuerza externa resultante Fi actuando sobre Pi. Al sumar las energias cinéticas de las diferentes partículas del sistema y al considerar el trabajo de todas las fuerzas implicadas, se puede aplicar la ecuación anterior al sistema completo. Las cantidades T₁ y T₂ de la ecuación 14.28 o 14.29. la cantidad U_1-2 representa el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Hay que observar que si bien las fuerzas internas son iguales y opuestas, el trabajo de estas fuerzas en general no se cancelará ya que las partículas Pi y Pj sobre las cuales actúan experimentaran, en general desplazamientos diferentes. Por lo tanto, al calcular U_1-2 se debe considerar el trabajo de las fuerzas internas asi como el trabajo de las fuerzas externas Fi.

Si todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son conservativas, la ecuación anterior puede sustituirse por

T₁ + V₁ = T₂ + V₂

Donde V representa la energía potencial asociada con las fuerzas internas y externas que actúan sobre las partículas del sistema.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

Las integrales de las ecuaciones anteriores representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. En la segunda ecuación las integrales representan los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas de tal modo, se expresa que la suma de los impulsos lineales que actúan sobre el sistema y la suma de los impulsos angulares alrededor de O son iguales, respectivamente, al cambio en la cantidad del movimiento lineal y del momento angular alrededor de O del sistema.

Se arreglan los términos de las ecuaciones y se escribe:

En los incisos a) y c), están expresadas las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 1 y 2 respectivamente. En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas y un momento par igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas esto igual puede aplicarse en problemas en el espacio.

L por definición es la resultante de la cantidad de movimiento mv; se nota entonces que la primera ecuación expresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) es igual a la resultante de los vectores indicados en el inciso c). Por consiguiente, HO es el momento resultante de las cantidades de movimiento mv. Así, la segunda ecuación expresa que el momento resultante de los vectores en los incisos a) y b) es igual a el momento resultante de los vectores en el inciso c). Las dos ecuaciones expresan pues, que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 1 y los impulsos de las fuerzas externas desde el tiempo 1 hasta el tiempo 2, forman un sistema de vectores equivalente al sistema de las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 2. Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema, las integrales de las ecuaciones son  0, entonces se produce:

            SISTEMAS VARIABLES DE PARTÍCULAS

Hasta este punto solo hemos considerado sistemas de partículas compuestos por partículas bien definidas, quiere decir que no generan ni pierden partículas durante su movimiento. Sin embargo, en ingeniería civil se ven muchos casos en los cuales se deben aplicar sistemas variables de partículas, quiere decir, en los cuales se ganen o pierdan partículas ó las dos al mismo tiempo.

En sí, éste tema sólo es una introducción a los dos siguientes en los cuales ya nos explicarán a detalle lo que es un sistema variable de partículas.

 CORRIENTE ESTACIONARA DE PARTÍCULAS

Considere una corriente estacionaria de partículas, tal como un chorro de agua que desvía una paleta fija o de igual manera un flujo de aire por un ventilador.

Se puede decir que la masa de las partículas cambia durante el intervalo del tiempo que recorre el sistema se aísla el sistema de las partículas para poder calcular y hallar la resultante de fuerzas.

Se puede decir que los sistemas de corriente estacionaria son variables porque continuamente ganan y pierden  partículas que fluyen a su interior.

Aunque siempre las partículas que entren tienen que ser las mismas que salen, se pueden aplicar el principio de impulso y la cantidad de movimiento. Ya que su masa permanece constante, la misma masa denotada por su velocidad al inicio y en la salida del sistema.

Se puede obtener otra ecuación con la suma de momentos de los vectores que intervienen en los sistemas sus unidades son kg/s & m/s

Ejemplos:

Corriente de fluido desviada por una paleta.

En este ejemplo la única fuerza seria la utilizada para desviar el flujo de corriente la fuerza de la corriente seria igual y opuesta a la de la paleta.

Flujo de fluido en el interior de un tubo

La fuerza que ejerce un fluido sobre una transición del tubo, como una curva o un estrechamiento, puede determinarse al considerar el sistema de partículas S que está en contacto con la transición. Como en general, variaría la presión en el flujo, también debemos considerar las fuerzas que las partes colindantes de fluido ejercen sobre S.

Motor a reacción.

En un motor el aire que entra sin velocidad en la parte delantera del motor, y lo abandona por la parte trasera con una gran velocidad.

La energía necesaria para acelerar las partículas de aire se obtiene quemando el combustible aunque aunque los gases de escape contienen combustible quemado, la masa de este es pequeña comparada con la masa del aire que fluye por el interior del motor.

Ventilador

La velocidad de las partículas al entrar al sistema del ventilador se puede suponer a cero y la velocidad de salida es la velocidad del viento de hélice.

Helicóptero

La determinación del empuje creado por las hélices giratorias de un helicóptero es igual a la del empuje de un ventilador.

SISTEMAS QUE GANAN O PIERDEN MASA.

En seguida se analiza un tipo diferente de sistema variable de partículas a saber, un sistema que gana masa al absorber continuamente partículas o que pierde masa al expulsar partículas de manera continúa.

Un claro ejemplo es un cohete que al quemar su combustible eso hace que lo eleve.

•        F Δt = m Δv – (Δm) U
•        F + Δm = ma U