CINÉTICA DE PARTÍCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON

SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON

Las tres leyes de Newton fueron publicadas en 1687 en su Philosophiae Naturales Principia Mathematica, las cuales son:

Ø  Primera Ley: Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él.

Ø  Tercera Ley: Para cada acción debe de haber una reacción igual y opuesta.

Ø  Segunda Ley: Si la fuerza resultante que actua sobre una particula no es cero, la particula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.

Un ejemplo para entender la segunda ley es:

Una partícula se somete a una fuerza F₁ de dirección constante y magnitud constante F₁. Bajo la acción de esa fuerza se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la fuerza (fig. 12.1 a) al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se encuentra que su aceleración tiene una magnitud constante a₁. Si el experimento se repite con fuerzas F_2, F₃,…, o de diferente magnitud o de dirección (fig. 12.1 b y c), se descubre que cada vez que la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las magnitudes a_1, a_2, a₃,…, de las aceleraciones son proporcionales a las magnitudes F_1,F2
 F₃,…, de las fuerzas correspondientes:

El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de las fuerzas y aceleraciones, es característico de la partícula que se considera; se denomina la masa de la partícula y se denota mediante m. Cuando sobre una partícula de masa mactúa una fuerza F₁ la fuerza F y la aceleración “a” de la partícula deben satisfacer entonces la relación.

∑ F = ma            F= ma

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO  DE LA CANTIDAD DE  MOVIMIENTO LINEAL

Si se remplaza la aceleración “a” por la derivada dv/dt en la ecuación se escribe:

∑F = m (dv/dt)

O ya que la masa m de la partícula es constante

∑F= d/dt (mv)

El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o simplemente  cantidad  de movimiento  de la partícula. Tiene  la misma dirección que la velocidad  de la partícula y su magnitud es igual al producto de la masa m la velocidad v de la partícula, la ecuación anterior expresa que la resultante de las fuerzas que actúan  sobre una partícula es igual  a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal  de la partícula. En esta  forma fue que newton  enuncio originalmente  la segunda ley de movimiento. Al denotar  por L la cantidad de movimiento lineal de la partícula.

L= mv

Y por L su derivada con respecto a t es posible escribir la ecuación en la forma alternativa

∑F = L

Debe notarse que la masa m de la partícula se supone constante. La ecuación anterior  no debe  entonces usarse para resolver problemas que impliquen el movimiento de cuerpos, como cohetes, que ganan o pierden masa.

Se desprende de la ecuación anterior que la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal mv  es cero  cuando ∑F =0. De tal manera que si la fuerza resultante  que actúa  sobre una partícula  permanece constante tanto en magnitud  como en dirección. Este es el principio  de conservación de la cantidad de movimiento lineal para una partícula, le cual  puede reconocerse  como  un enunciado alternativo  de la primera ley de newton

ECUACIONES DE MOVIMIENTO.

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas .
De la segunda Ley de Newton:

ΣF = ma --------------------------- (1)

Ésta relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector ma. Sin embargo, para resolver los problemas que implican el movimiento de una partícula se encontrará más conveniente sustituir la ecuación(1) por ecuaciones equivalentes que incluyen cantidades escalares .

Componentes rectangulares.

Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a en componentes rectangulares tenemos:

Σ(Fxi + Fyj + Fzk) = m(axi + ayj + azk) por lo tanto :

ΣFx = max ΣFy = mayΣFz = maz

Considérese como ejemplo el movimiento de un proyectil. Si se ignora la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil después de que éste se ha lanzado es su peso:

W= -Wj.

Cuando un problema implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de movimiento deben escribirse para cada uno de ellos

Componentes tangencial y normal.

Al descomponer las fuerzas a lo largo de la tangente a la trayectoria (en dirección del movimiento) y la normal (hacia el interior de la trayectoria.

Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para 2 Incógnitas.

EQUILIBRIO DINAMICO

Al resolver la ecuación  ∑F=ma  y transponer el miembro al otro lado de la ecuación, se escribe la segunda ley de Newton de forma alternativa:

En la que se expresa que si se suma el vector “–ma” a las fuerzas que actúan sobre la partícula, se obtiene un vector equivalente a cero. El vector “-ma”, de magnitud ma y de dirección opuesta a la de la aceleración se denomina vector inercia. De tal modo que es factible considerar que la partícula esta en equilibrio bajo la acción de las fuerzas y del vector inercia.

En el caso de fuerzas coplanares, también es posible igualar a cero la suma de los componentes de todos los vectores de la figura, incluyendo de nuevo al vector inercia. En consecuencia utilizando componentes rectangulares se escribe:

   Incluyendo al vector inercia

Cuando se utilizan las componentes tangencial y normal es más conveniente representar el vector inercia por medio de sus componentes –ma_t y –ma_n  en el mismo dibujo. La componente tangencial del vector inercia ofrece una medida que la resistencia de la partícula presenta a el cambio de velocidad en tanto que su componente normal (también llamada fuerza centrifuga representa la tendencia de la partícula a abandonar su trayectoria curva.

Alguna de las componentes tangenciales puede ser cero bajo los siguientes casos:

1.- si la partícula parte del reposo, su velocidad inicial es cero, por lo tanto la componente normal del vector en t=0 es cero

2.- Si la partícula se mueve a velocidad constante a lo largo de su trayectoria la componente tangencial  del vector inercia es cero y solo es necesario considerar su fuerza normal

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Ho= Cantidad de movimiento angular

• Ho=rxmv  --------------------          Vector perpendicular al plano
• Ho=rms sen Θ --------------          Magnitud

Unidades  de Ho

• Sistema internación (S.I.)

(m)(kg*m/s)= kgm²/s

• Sistema Ingles

(ft)(lb)(s)=ft*lb*s

Al descomponer los vectores r y mv en componentes y aplicar la formula Ho=rxmv

Hx=m (yvz-zvy)

Hy=m (zv_x-xv_z)

Hz=m (xv_y-yv_x)

En el caso de una partícula que se mueve en el plano xy se tiene z=v_z=0, es decir Hx y Hy=0, de tal modo Ho es perpendicular al plano xy. En este caso se define por completo por un escalar: Ho=Hz=m (xv_y-yv_x)

Ecuación de movimiento en términos de las componentes radial y transversal

Ho= rmv sen Θ

Al recordar que V_Θ=r Θ’

            Ho=mr² Θ’

A continuación se calcula la derivada respecto de t de Ho de la partícula P que se mueve en el espacio Ho=rxmv

H’o=r`xmv + rxmv`= vxmv + rxma

Puesto que los vectores v y mv son colineales se eliminan, si ma= ∑F y rx ∑F= ∑Mo

Establece que la suma de los momentos en O de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio  del momento de la cantidad de movimiento, o cantidad de movimiento angular, de la partícula alrededor de O

ECUACIONES DE MOVIMIENTO EN TERMINOS DE LAS COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL

Considérese una partícula P, de coordenadas polares r y θ  que se mueve en un plano bajo la acción de varias fuerzas. Al descomponer las fuerzas y la aceleración de la partícula en las componentes radial y transversal y sustituir la ecuación, se obtienen las dos ecuaciones escalares.

∑Fr = mar      ∑Fθ =maθ

Al sustituir ar y aθ de acuerdo con las ecuaciones se tiene:

ar =ř- rθ2

aθ= rθ +2řθ

∑Fr = m(ř- rθ2)

∑Fθ =m(řθ+2rθ)

MOMENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR.

Cuando la única fuerza que actúa sobre una partícula P es una fuerza F dirigida hacia O alejándose de un punto fijo O, se dice que la partícula se está moviendo bajo una fuerza central, y el punto O se conoce como el centro de fuerza. Puesto que la línea de acción de F pasa por O, se debe tener ∑M_O = O, en cualquier instante.

H_O = O

Para todos los valores de t e, integrar en t,

H_O = constante

La cantidad de movimiento angular de una partícula que se mueve bajo la fuerza central es constante, tanto en magnitud como en dirección.

r X mv = H_O = constante

La magnitud H_O de la cantidad de movimiento angular de la partícula P es constante, el miembro del lado derecho de la ecuación debe ser constante. Por lo tanto, se escribe

rmv sen ф = r₀mv₀ sen ф

Es posible expresar el hecho de que la magnitud H_Ode la cantidad de movimiento angular de la partícula P es constante al escribir

mr² Ѳ = H_O = constante

O, dividir entre m y denotar por h el movimiento angular por masa unitaria H_O/m,

r² Ѳ = h

Se concluye que cuando una partícula se mueve bajo una fuerza central, su velocidad de área es constante o ya que la masa m de la partícula es constante