CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

  CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

En este capítulo se estudiara la cinética de cuerpos rígidos, esto es, las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido y el movimiento que se produce. El planeamiento será considerar a los cuerpos rígidos conformados por un gran número de partículas y utilizar los resultados que se obtuvieron en el capítulo 14 para el movimiento de sistemas de partículas.

Los cuerpos rígidos considerados  constaran únicamente de placas planas y de cuerpos que son simétricos con respecto al plano de referencia. El estudio del movimiento plano de cuerpos tridimensionales no simétricos y, más de lo general, el movimiento de cuerpos rígidos en el espacio tridimensional se pospondrán para el capitulo 18. En la sección 16.3 se definirá la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano y se mostrara que la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular.            
El principio de d’Alembert, que se presentara en la sección 16.4 se usara para demostrar que las fuerzas externa que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a un vector. En la sección 16.5 se obtendrá el principio de transmisibilidad utilizando solo la ley del paralelogramo y las leyes del movimiento de Newton. En la sección 16.6 se presentan las ecuaciones de diagramas de cuerpo libre que se utilizaran en la solución de todos los problemas que implican todos los movimientos planos de cuerpo rígido. En la sección 16.7 en lector estará preparado para resolver una diversidad de problemas que implican la traslación. En la sección 16.8 se tratara la solución de problemas que implican rotación no centroidal, movimiento de rodamiento y otros movimientos planos parcialmente restringidos de cuerpos rígidos.

16.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO

Considere un cuerpo rígido sobre el que actúan varias fuerzas externas F1 ,F2,F3. Se pueden suponer que el cuerpo está integrado por un gran numero n de partículas de masa. Considerando primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz se retoma la ecuación y se escribe

SF = ma

Volviendo ahora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de referencia centroidal Gx’y’z’ se retoma la ecuación y se escribe

S MG = HG

Las ecuaciones (16.1) y (16.2) se aplican al caso más general del movimiento de un cuerpo rígido. Sin embargo, en el resto de este capítulo el análisis se limitara al movimiento plano de cuerpos rígidos, esto es, a un movimiento en el que cada partícula permanece a una distancia constante de un plano de referencia fijo.

16.3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO

Considerando los momentos alrededor de G de las cantidades de movimiento de las partículas de la placa en su movimiento de las partículas de la placa con respecto al sistema de referencia Oxy o Gx’y’. Si se elige este último, se escribe

HG = S ( r’i  × v’i ∆mi )

En vista de que la particular pertenece a la placa, se tiene que v’i = w × r’i, donde w es la velocidad angular de la placaes el instante considerado.

HG = S [ r’i  ×(w × r’i) ∆mi ]

Se concluye que la cantidad de movimiento angular HG de la placa en torno a su centro de masa es

HG = Iw

al diferenciar ambos miembros de la ecuación se obtiene

HG = Iw = I

16.4 MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RIGIDO. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT.

Considere una placa de masa m que se mueve bajo la acción de varias fuerzas externas contenidas en el plano de la placa. Al sustituir HG de las ecuaciones de movimiento fundamentales y en forma escalar se tiene:

SFx= max    SFy= may  SMG= Ia

Las ecuaciones muestran que el centro de masa G de la placa y aceleración angular se obtienen fácilmente una vez que se ha determinado la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la placa y su momento resultante alrededor de G. Es posible obtener cualquier instante t del centro de masa y la coordenada angular. El movimiento de placa está completamente definido por la resultante y el momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas que actúan sobre ella

Puesto que el movimiento de un cuerpo rígido depende solo de la resultante y el momento resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él, se concluye que dos sistemas de fuerzas que son equipolentes también son equivalentes, esto es, tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido dado. Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a las fuerzas efectivas de las diferentes partículas que lo constituyen.

Traslación: La aceleración angular es igual a cero y sus fuerzas efectivas se reducen al vector ma fijo en G. La resultante de las fuerzas externas pasa por el centro del cuerpo y es igual a ma.

Rotación Centroidal: Cuando un cuerpo simétrico con respecto al plano gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia y pasa por su centro de masa G, se afirma que el cuerpo está en rotación Centroidal.

Movimiento Plano General: Desde el punto de vista de la cinética el movimiento plano más general de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puede reemplazarse por la suma de una traslación y una rotación centroidales.

16.5 OBSERVACIÓN ACERCA DE LOS AXIOMAS DE LA MECÁNICA DE CUERPOS RÍGIDOS.

El hecho de que dos sistemas equipolentes de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son también equivalentes, tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido. Sin embargo en éste caso se dedujo el principio de transmisibilidad, uno de los axiomas que se usan en nuestro estudio de la estática de cuerpos rígidos.

En consecuencia el principio de transmisibilidad puede eliminarse de la lista de axiomas que se requieren para el estudio de los cuerpos rígidos y su mecánica. Estos axiomas se reducen a la ley del paralelogramo para la suma de vectores y a las leyes de movimiento de Newton.

16.6 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO.

Si el principio de equivalencia de fuerzas externas o efectivas se aplica de manera directa, o si se introduce el principio de equilibrio dinámico el uso de las ecuaciones del diagrama de cuerpo libre que muestran la relación vectorial que existe entre las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo rígido y las resultantes aceleraciones lineal y angular ofrecen ventajas considerables respecto a la aplicación de las fórmulas. Las ventajas pueden resumirse de la manera siguiente:

1.- El uso de representación gráfica ofrece una comprensión mucho más clara.

2.- Este planteamiento posibilita dividir la solución de un problema dinámico en dos partes, la primera el análisis de las características cinemáticas y cinéticas, en la segunda, el diagrama obtenido se usa para analizar las diferentes fuerzas y vectores implicados.

3.- Para el análisis del movimiento plano de un cuerpo rígido se proporciona un planteamiento unificado, independientemente del tipo particular de movimiento implicado.

4.- La resolución del movimiento plano de un cuerpo rígido en una traslación y una rotación centroidal, es un concepto básico que es posible aplicar de manera efectiva en todo el estudio de la mecánica.

5.- El movimiento del cuerpo se volverá a descomponer en una traslación y una rotación alrededor del centro de masa y se utilizarán las ecuaciones del diagrama de cuerpo libre para indicar la relación que existe entre las fuerzas externas y las razones de cambio de las cantidades de movimiento lineal y angular del cuerpo.

16.7 SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS.

Para cada parte del sistema es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre. Las ecuaciones de movimiento que se obtienen de éstos diagramas se resuelven de manera simultánea.

En algunos casos basta con dibujar un solo diagrama para todo el sistema. Este diagrama incluirá todas las fuerzas externas, así como los vectores ma y los pares Ia asociados con las diversas partes del sistema.

Las ecuaciones obtenidas al expresar que el sistema de fuerzas externas es equipolente al sistema de fuerzas efectivas se resuelve para las incógnitas restantes.

No es posible utilizar éste segundo planteamiento en problemas que implican más de tres incógnitas, ya que solo se dispone de tres ecuaciones cuando se usa un solo diagrama.

16.8 MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO O VINCULADO.

La mayoría de las aplicaciones de Ingeniería tienen que ver con cuerpos rígidos que se mueven bajo restricciones determinadas. Por ejemplo las manivelas deben de girar alrededor de un eje fijo, las ruedas deben rodar sin patinar y las bielas describir ciertos movimientos prescritos. Existen relaciones definidas entre las componentes de la aceleración a del centro de masa G y su aceleración angular, se dice que el movimiento correspondiente es un movimiento restringido. La solución requiere un análisis cinemático preliminar del problema.

Rotación no Centroidal: El movimiento de un cuerpo rígido que está restringido a girar alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa se denomina rotación no centroidal. El centro de masa G se mueve a lo largo de un círculo de radio r  y al denotar por w y a la velocidad angular y la aceleración de la línea OG, se obtendrán expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración G.

Movimiento de Rodamiento: Otro caso importante de movimiento plano es el movimiento de un disco o rueda que gira sobre una superficie plana. Si el disco está restringido a rodar sin deslizarse, la aceleración de su centro de masa G y su aceleración angular no son independientes. Suponiendo que el disco está equilibrado, de manera que su centro de masa y su centro geométrico coincidan, la distancia x recorrida por G durante una rotación es igual a x=r0.

En el caso particular de movimiento de rodamiento de un disco equilibrado las fuerzas efectivas se reducen a un vector de magnitud mra fijo en G, así se puede demostrar que las fuerzas externas son equivalentes al vector.

 En este vides se nos muestra como se aplica el momento angular en los cuerpos