Sistemas de Particulas

SISTEMAS DE PARTICULAS 

 INTRODUCCIÓN

Este capítulo está destinado al análisis del movimiento de un gran numero de partículas consideradas en conjunto. La primera parte de este se dedica a sistemas constituidos por partículas bien definidas; la segunda considera el movimiento de sistemas en los cuales se ganan o pierden partículas.

En la sección 14.2 la segunda ley de Newton se aplica a cada partícula del sistema. Al definir fuerza efectiva como el producto de su masa por su aceleración, se demostrará que las fuerzas externas que actúan sobre diversas partículas forman un sistema equipolente al sistema de las fuerzas efectivas. En la sección 14.3 se demostrará que la fuerza y el momento resultante de las fuerzas externas son iguales respectivamente a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular total de las partículas del sistema.

En la sección 14.4 se define el centro de masa del sistema de partículas y se describe su movimiento. Asímismo en la sección 14.5 se analiza el movimiento de las partículas alrededor de su centro de masa. Las condiciones bajo las cuales se conserva la cantidad de movimiento lineal y angular en un sistema se estudian en el 14.6.

Las secciones 14.6 y 14.8 abordan la aplicación del principio del trabajo y la energía en un sistema a partículas y en el 14.9 el principio de impulso la cantidad de movimiento.

La segunda parte de este  capítulo se dedica al estudio de un sistema variable de partículas. En la sección 14.1 se consideran corrientes estacionales de partículas. Por último en la sección 14.2 se aprenderá como analizar los sistemas que ganan o pierden partículas.

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. FUERZAS EFECTIVAS.

Para deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas se comienza escribiendo la segunda ley de Newton para cada partícula individual del sistema. Considerando una partícula Pi donde 1≤ i ≤ n. Sean mi la masa  de Pi y ai  su aceleración con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz. La fuerza ejercida sobre Pi por otra partícula Pj, se denomina fuerza interna y se denota por Fij (donde se supone que no tiene significado y es igual a cero). Por otro lado al denotar Fi la resultante de las fuerzas externasque actúan sobre Pi, se escribe la segunda ley de Newton en la siguiente forma:

Ahora bien, denotando por ri el vector de posición de la partícula Pi y tomando en cuenta los momentos alrededor de O, también se escribe:

Si se repite el procedimiento para cada partícula del sistema, se obtienen n ecuaciones del tipo Fi  y n ecuaciones del tipo  ri x Fi donde i toma los valores 1,2,… n sucesivamente. En consecuencia las ecuaciones que se obtienen expresan el hecho de las fuerzas externas e internas que actúan sobre el sistema son equipolentes al sistema de las fuerzas efectivas (miai).

En cuanto a la deducción de las ecuaciones, hay que examinar las fuerzas internas fij, en pares fij y fji,  donde fij representa la fuerza ejercida por la partícula Pj a las partícula Pi y la fuerza fji representa la fuerza ejercida por Pi sobre Pj. Ahora bien, las fuerzas fij y fji son iguales y opuestas y tienen la misma línea de acción. Por lo tanto, su suma es fij + fji = 0.

Al agregar todas las fuerzas internas del sistema y sumar sus momentos alrededor de O, se obtienen las ecuaciones:

Al regresar a la primera ecuación y utilizando la primera de las anteriores obtenemos:

Al proceder de manera similar la segunda ecuación que se denotó y la segunda de las anteriores obtenemos:

Las ecuaciones anteriores expresan el hecho de que las fuerzas internas son equipolentes a cero. Sin embargo no se afirma que las fuerzas internas no tengan efecto sobre las partículas.

En esta figura se observa que las fuerzas tienen la misma resultante y el mismo momento, pero éstos actúan de manera distinta.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

Las ecuaciones  para el movimiento de un sistema de partículas, pueden expresarse de una manera más concreta si se introduce la cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partículas. Definiendo la cantidad de movimiento lineal L del sistema de partículas como la suma de las cantidades de movimiento de las diferentes partículas del sistema, escribimos:

Definiendo la cantidad de movimiento angularH_ocon respecto a O del sistema de partículas, encontramos: 

La cual haciendo el desglose puede reducirse a la siguiente ecuación:

Porque los vectores v_i y m_iv_i son colineales.  

Entonces escribimos:

 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La ecuación anterior  puede escribirse en otra forma si se considera el centro de masa de partículas. El centro de masa del sistema es el punto C definido por el vector de posición  que satisface la relación

En la que m representa la masa total  de las partículas. Descomponiendo los vectores de posición en componentes rectangulares, obtenemos las tres ecuaciones escalares, que pueden utilizarse para encontrar las coordenadas  del centro de masa:

Como m_ig representa el peso de la partícula P_i y mg el peso total de las partículas, notamos que G es también el centro de gravedad del sistema de partículas.

Al derivar ambos miembros de la ecuación 

O sea:

(a)

En la cual V representa la velocidad del centro de masa G del sistema de partículas, pero el segundo miembro de la ecuación (a) es  por definición, la cantidad de movimiento lineal L del sistema. Por tanto, tenemos

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ALREDEDOR DE SU CENTRO DE MASA.

En algunas aplicaciones es conveniente considerar el movimiento de las partículas del sistema con respecto a un sistema de referencia centroidal Gx’y’z’ que se traslada con respecto al sistema de referencia Newtoniano Oxyz. Si bien el sistema de referencia centroidal no es, en general, un sistema de referencia newtoniano, se observara que la relación fundamental  ∑Mo=Ho se cumple cuando el sistema de referencia Oxyz se sustituye por Gx’y’z’.

Al denotar, respectivamente, mediante r’_i y v’_i el vector de posición y la velocidad de la particula P₁ relativos al sistema de referencia en  movimiento Gx’y’z’, se define la cantidad de  movimiento angular H’_G del sistema de partículas alrededor del centro de masa G de la manera siguiente

H’_G = ∑ (r’_i  x m_i v’_i)

Al igualar y realizar sustituciones con otras ecuaciones de temas anteriores obtenemos:

H’_G = ∑ (r’_i x m_ia_i) – (∑ m_ir’_i)x a

Sin embargo la segunda sumatoria en la ecuación es igual a mr y, por consiguiente, a cero, ya que el vector de posición r’ de G relativo al sistema de referencia Gx’y’z’ es claramente cero. Por otro lado, puesto que a_i representa la aceleración de P_i relativa al sistema de referencia newtoniano, se puede usar la ecuación (14.1) y sustituir m_ia_i por la suma de las fuerzas internas f_ij y de la resultante F_i de las fuerzas externas que actúan sobre P_i pero un razonamiento simirar al de la secion14.2  demuestra que el momento resultante alrededor de G de las fuerzas internas f_ij del sistema completo es cero. La primera sumatoria en la ecuación anterior se reduce consecuentemente al momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y se escribe.

∑M_G = H’_G

H_G se reduce a la segunda sumatoria, la cual por definición es H’_G, si se aprovecha la propiedad se simplifica la notación al eliminar ( ‘ ) de la ecuación y se escribe.

∑M_G = H_G

La ecuación final para calcular los momentos alrededor de G seria

H_G = ∑ (r’_i x m_iv_i) = ∑ (r’_i x m_iv’_i)

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si sobre las partículas de un sistema no actúan formas externas, los primeros miembros de las ecuaciones  Σ F = ´L y Σ Mo = ´Ho son iguales a cero & estas ecuaciones se reducen a ´L=0 y ´Ho=0 , concluimos que L=constante H=constante. Éstas ecuaciones expresan que la cantidad de movimiento lineal del sistema de partículas y su cantidad de movimiento angular respecto al punto fijo cero se conserva.

Hay algunas aplicaciones como poblemas en los que intervienen fuerzas centrales el momento respecto a un punto fijo cero de cada una de las fuerzas externas pueden ser cero sin que ninguna de las fuerzas sean cero

ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La energía cinética T de un sistema de partículas se define como la suma de las energías cinéticas de las diversas partículas del sistema. Por lo tanto se escribe:

T = ½ ∑m_iv²_i

Sea P_i una partícula del sistema v_i su velocidad relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz y v’_i su velocidad relativa al sistema de referencia en movimiento Gx’y’z’ que esta en traslación con respecto a Oxyz. Se recuerda de la sección anterior que.

v_i = v+ v’_i

donde v denota la velocidad del centro de masa G relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz. Al observar que u’_i  es igual al producto escalar v_{i .} v_i, se expresa la energía cinética T del sistema relativa al sistema de referencia newtoniano Oxyz sustituyendo v_i  en la forma siguiente:

T = ½ ∑ [m_i(v + v’_i) . (v + v’_i)] = ½ (∑ m_i ) u² + v . ∑ m_iv’_i + ½ ∑ m_i u’_i²

La primera sumatoria representa la masa total m del sistema. Al recordar la ecuación 14.13, se nota que la segunda sumatoria es igual a m v’  y, en consecuencia, a cero, ya que v’ representa la velocidad de G relativa al sistema de referencia Gx’y’z’, es claramente cero. Por lo tanto, se escribe.

T = ½ mu² + ½ ∑ m_iu’_i²

Esta ecuación muestra que la energía cinética T de un sistema de partículas puede obtenerse al sumar la energía cinética del centro de masa G (suponiendo que toda la masa está concentrada en G) y la energía cinética del sistema en su movimiento relativo al sistema de referencia Gx’y’z’.

 PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS

El principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada partícula Pi de un sistema de partículas. Se escribe:

T₁ + U_1-2 = T₂

Para cada partícula Pi donde U_1-2 representa el trabajo realizado por las fuerzas internas  y la fuerza externa resultante Fi actuando sobre Pi. Al sumar las energias cinéticas de las diferentes partículas del sistema y al considerar el trabajo de todas las fuerzas implicadas, se puede aplicar la ecuación anterior al sistema completo. Las cantidades T₁ y T₂ de la ecuación 14.28 o 14.29. la cantidad U_1-2 representa el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Hay que observar que si bien las fuerzas internas son iguales y opuestas, el trabajo de estas fuerzas en general no se cancelará ya que las partículas Pi y Pj sobre las cuales actúan experimentaran, en general desplazamientos diferentes. Por lo tanto, al calcular U_1-2 se debe considerar el trabajo de las fuerzas internas asi como el trabajo de las fuerzas externas Fi.

Si todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son conservativas, la ecuación anterior puede sustituirse por

T₁ + V₁ = T₂ + V₂

Donde V representa la energía potencial asociada con las fuerzas internas y externas que actúan sobre las partículas del sistema.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.

Las integrales de las ecuaciones anteriores representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. En la segunda ecuación las integrales representan los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas de tal modo, se expresa que la suma de los impulsos lineales que actúan sobre el sistema y la suma de los impulsos angulares alrededor de O son iguales, respectivamente, al cambio en la cantidad del movimiento lineal y del momento angular alrededor de O del sistema.

Se arreglan los términos de las ecuaciones y se escribe:

En los incisos a) y c), están expresadas las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 1 y 2 respectivamente. En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas y un momento par igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas esto igual puede aplicarse en problemas en el espacio.

L por definición es la resultante de la cantidad de movimiento mv; se nota entonces que la primera ecuación expresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) es igual a la resultante de los vectores indicados en el inciso c). Por consiguiente, HO es el momento resultante de las cantidades de movimiento mv. Así, la segunda ecuación expresa que el momento resultante de los vectores en los incisos a) y b) es igual a el momento resultante de los vectores en el inciso c). Las dos ecuaciones expresan pues, que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 1 y los impulsos de las fuerzas externas desde el tiempo 1 hasta el tiempo 2, forman un sistema de vectores equivalente al sistema de las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo 2. Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema, las integrales de las ecuaciones son  0, entonces se produce:

            SISTEMAS VARIABLES DE PARTÍCULAS

Hasta este punto solo hemos considerado sistemas de partículas compuestos por partículas bien definidas, quiere decir que no generan ni pierden partículas durante su movimiento. Sin embargo, en ingeniería civil se ven muchos casos en los cuales se deben aplicar sistemas variables de partículas, quiere decir, en los cuales se ganen o pierdan partículas ó las dos al mismo tiempo.

En sí, éste tema sólo es una introducción a los dos siguientes en los cuales ya nos explicarán a detalle lo que es un sistema variable de partículas.

 CORRIENTE ESTACIONARA DE PARTÍCULAS

Considere una corriente estacionaria de partículas, tal como un chorro de agua que desvía una paleta fija o de igual manera un flujo de aire por un ventilador.

Se puede decir que la masa de las partículas cambia durante el intervalo del tiempo que recorre el sistema se aísla el sistema de las partículas para poder calcular y hallar la resultante de fuerzas.

Se puede decir que los sistemas de corriente estacionaria son variables porque continuamente ganan y pierden  partículas que fluyen a su interior.

Aunque siempre las partículas que entren tienen que ser las mismas que salen, se pueden aplicar el principio de impulso y la cantidad de movimiento. Ya que su masa permanece constante, la misma masa denotada por su velocidad al inicio y en la salida del sistema.

Se puede obtener otra ecuación con la suma de momentos de los vectores que intervienen en los sistemas sus unidades son kg/s & m/s

Ejemplos:

Corriente de fluido desviada por una paleta.

En este ejemplo la única fuerza seria la utilizada para desviar el flujo de corriente la fuerza de la corriente seria igual y opuesta a la de la paleta.

Flujo de fluido en el interior de un tubo

La fuerza que ejerce un fluido sobre una transición del tubo, como una curva o un estrechamiento, puede determinarse al considerar el sistema de partículas S que está en contacto con la transición. Como en general, variaría la presión en el flujo, también debemos considerar las fuerzas que las partes colindantes de fluido ejercen sobre S.

Motor a reacción.

En un motor el aire que entra sin velocidad en la parte delantera del motor, y lo abandona por la parte trasera con una gran velocidad.

La energía necesaria para acelerar las partículas de aire se obtiene quemando el combustible aunque aunque los gases de escape contienen combustible quemado, la masa de este es pequeña comparada con la masa del aire que fluye por el interior del motor.

Ventilador

La velocidad de las partículas al entrar al sistema del ventilador se puede suponer a cero y la velocidad de salida es la velocidad del viento de hélice.

Helicóptero

La determinación del empuje creado por las hélices giratorias de un helicóptero es igual a la del empuje de un ventilador.

SISTEMAS QUE GANAN O PIERDEN MASA.

En seguida se analiza un tipo diferente de sistema variable de partículas a saber, un sistema que gana masa al absorber continuamente partículas o que pierde masa al expulsar partículas de manera continúa.

Un claro ejemplo es un cohete que al quemar su combustible eso hace que lo eleve.

•        F Δt = m Δv – (Δm) U
•        F + Δm = ma U